トポロジーとは?最適化ってどういうこと?

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最近、ネットを閲覧していると、「トポロジー」という言葉を
チラホラ見かけることが増えてきました。

 

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トポロジー(topology) = 「位相幾何学(いそうきかがく)」

 

 

 

トポロジーって、なんだか親しみのある、可愛らしい、お菓子
みたいない名前なんですが、意味を調べてみると、その説明が
難解すぎて、どんどん迷宮の深みにハマってしまいそうです(笑)

 

トポロジーって、何のこと?

 

では、トポロジーって、一体何なんでしょう?

 

あなたは、ミレニアム懸賞問題(ミレニアムけんしょうもんだい)
をご存知でしょうか?

 

ミレニアム懸賞問題とは、未だ解決されていない数学上の問題の
ことで、2000年5月の時点で、候補にあげられた問題は7つあり、
クレイ数学研究所は各々の問題に100万ドルの懸賞金をかけました。

 

つまり、7つある数学問題の内、1つでも証明(解決)することが
できれば、100万ドル(日本円で1億円くらい)がゲットできる
夢のような話だったりします。※解決できれば・・の話ですが(笑)

 

ミレニアム懸賞問題の対象となっているのは以下の7つ。

 

・P≠NP 予想 (P versus NP)

・ホッジ予想 (The Hodge Conjecture)

・リーマン予想 (The Riemann Hypothesis)

・ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題
(Yang-Mills Existence and Mass Gap)

・ナビエ-ストークス方程式 の解の存在と滑らかさ
(Navier-Stokes Existence and Smoothness)

・バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想
(The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)

・ポアンカレ予想 (The Poincaré Conjecture)

 

一番下に記された「ポアンカレ予想」という問題がありますが
簡単に説明すると「宇宙がどういう形状をしているか?」という
ことを証明するための問題になります。

 

たとえば、どこまでも伸びるロープを宇宙船に括り付け、宇宙を
旅した後、そのロープの端と端を固定したまま手繰り寄せたとして
うまく回収できたとすれば、宇宙はほぼ丸いと言えるのか?

 

証明する問題だったりするのですが、この問題自体がトポロジー的
観点から作られた内容であったため、多くのトポロジー専門家が
100年もの長い間悩み続け、解決出来ずにいたわけです。

 

ついに100年来の悩みが解決!

 

2009年にロシアの数学者ペレルマンが、微分幾何学、
すなわち、数学的見地から「ポアンカレ予想」を証明することに
成功しました。

 

現在「ポアンカレ予想」は既に解決済みとなっていますが、
天才ゆえか?ペレルマンは受賞も賞金もすべて辞退し、現在は
実家で暮らしながら、母親の年金で生活しているようです。

 

このような例を出して、トポロジーを語ると、ますます難解さを
増すばかりだったりしますが、実は、あなたもご存知の有名な
トポロジーがあるんです。

 

比較的誰もが知っている有名なトポロジー

 

 

メビウスの輪

 

mebius

 

そして、

 

クラインの壺

 

 

名前は知っていたけど、これらが「トポロジー」であったことを
初めて知った人も、いるのではないでしょうか。

 

■トポロジーの最適化とは?

 

トポロジーを語る上で、良く耳にする言葉に
「トポロジー最適化」というものがあります。

 

これは、製品材料の部材重量などの削減を行うもので
無駄を省いた形状等により、製品の軽量化、機能の向上
そして、コスト削減を目指すものになります。

 

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■無意識に利用している生活の中のトポロジー

 

実は、リアルな道順をデフォルメした地図。すなわち、
簡略化した地図もトポロジーと言えるわけです。

 

路線バスや、電車の各駅を示した表なども、実際の距離は
それぞれ違うけれども、地図で示す場合は、大小長短関係なく、
すべて等間隔で記されていますよね。

 

rosen

 

これって、とても認識しやすいですし、わかり易くて、
しかも、便利ですよね。普段何気なく利用していますが、
トポロジーは、私たちの身近な場所で役に立っているんですね。

 

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